Producto de dos binomios con terminos semejantes

Si recordamos el concepto de términos semejantes utilizado en la reducción de términos, sabemos que son aquellos términos que solo difieren en el coeficiente. En el caso del producto de dos binomios con términos semejantes se tienen los siguientes ejemplos:

(2x + 3)(3x + 4), (5y - 2)(2y +3), (4a + 5)(a - 2), (5n - 4)(3n + 7), etcétera.

Desde luego que cuando el coeficiente del termino semejante en cada binomio

sea el mismo, se tiene el caso de binomios con un termino común.

Para obtener el producto de dos binomios con términos semejantes, se puede hacer la multiplicación directamente. Por ejemplo,

El polinomio que se obtiene como producto de dos binomios con términos semejantes se forma con un termino que es el producto de los dos términos semejantes, otro termino que es el producto de los otros dos términos, y la suma del producto de los extremos (el termino semejante del primer binomio con el otro termino del segundo binomio) con el producto de los medios (el otro termino del primer binomio con el termino semejante del segundo binomio).

Producto de dos binomios con un termino comun

El producto notable de dos binomios con un termino común se caracteriza por tener precisamente un mismo termino en ambos binomios:

(x + a)(x + b)

En estos dos binomios x es un termino común. Otros ejemplos de binomios con un termino común son las siguientes:

(x + 3)(x + 2), (a - 4)(a-2), (m + 5)(m - 3), (y - 6)(y + 5), etcétera.

Podemos obtener el producto de los binomios (x + a) y (x + b) con el termino común x efectuando la multiplicación.

(x + a)(x + b) = x (x + b) + a (x + b)

= x (x) + x (b) + a (x) + a (b)

= x2 + bx + ax + ab

= x2 + (a + b) x + ab

Con este ejemplo, podemos generalizar la regla para obtener el producto de dos binomios con un termino común:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Veamos un ejemplo aritmético del producto de dos binomios con un termino común:

Producto de dos binomios conjugados

El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a - b) es un producto notable; a ambos factores, uno en relación con el otro, se les llama binomios conjugados. El producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados.

Al igual que los otros productos notables desarrollados, este también tiene una regla para encontrar el resultado sin necesidad de utilizar la multiplicación. Por el momento efectuaremos el producto de los binomios conjugados para poder generalizar su solución, es decir, encontrar la regla que debemos aplicar:

(a + b)(a - b) = (a + b) a + (a + b)(- b)

= a (a) + b (a) + a (- b) + b (- b)

= a2 + ab - ab - b2

= a2 - b2

El producto de dos binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados,

Así que la regla general para obtener el producto de dos binomios conjugados es la siguiente:

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Veamos un ejemplo aritmético. Obtengamos el producto de (5 + 2) por (5 - 2).

Binomio al cubo (Cubo de un binomio)

Un binomio a + b al cubo, (a + b)3, significa que el binomio a + b esta multiplicándose por si mismo tres veces. Es un producto notable. Se puede generalizar el proceso para obtenerlo. Para encontrar la regla que permita dar solución directamente a un binomio al cubo iniciaremos por efectuar la multiplicación:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)

Efectuamos la multiplicación de los primeros dos factores y este resultado se multiplica por el tercer factor.

(a + b)(a + b) = (a + b)2

= a2 + 2ab + b2

Así,

(a + b)3 = (a2 + 2ab +b2)(a + b)

= (a2 + 2ab + b2) a + (a2 + 2ab + b2) b

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b2

Con el ejemplo anterior podemos generalizar la regla para obtener de una manera directa el resultado de un binomio al cubo:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Veamos un ejemplo aritmético. Obtengamos el cubo del binomio (2 + 3).

Binomio al cuadrado (Cuadrado de un binomio)

Un binomio a+b al cuadrado, (a+b)2, es un producto notable. S se puede generalizar el proceso para obtenerlo. Antes de desarrollar este proceso, analizaremos el concepto de ¨binomio al cuadrado¨ geometricamente:
















Mediante esta figura nos damos cuenta de que un binomio al cuadrado, (a+b)2, equivale a sumar el área a2 de un cuadrado de lado a, el área b2 de otro cuadrado de lado b y el área de dos rectángulos iguales , 2ab, de lados a y b. Esto es,

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Así que el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer termino mas el doble producto del primer termino por el segundo mas el cuadrado del segundo termino.

La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

Veamos un ejemplo aritmético. Obtengamos el cuadrado del binomio (8 + 3).