Producto de dos binomios con terminos semejantes

Si recordamos el concepto de términos semejantes utilizado en la reducción de términos, sabemos que son aquellos términos que solo difieren en el coeficiente. En el caso del producto de dos binomios con términos semejantes se tienen los siguientes ejemplos:

(2x + 3)(3x + 4), (5y - 2)(2y +3), (4a + 5)(a - 2), (5n - 4)(3n + 7), etcétera.

Desde luego que cuando el coeficiente del termino semejante en cada binomio

sea el mismo, se tiene el caso de binomios con un termino común.

Para obtener el producto de dos binomios con términos semejantes, se puede hacer la multiplicación directamente. Por ejemplo,

El polinomio que se obtiene como producto de dos binomios con términos semejantes se forma con un termino que es el producto de los dos términos semejantes, otro termino que es el producto de los otros dos términos, y la suma del producto de los extremos (el termino semejante del primer binomio con el otro termino del segundo binomio) con el producto de los medios (el otro termino del primer binomio con el termino semejante del segundo binomio).

Producto de dos binomios con un termino comun

El producto notable de dos binomios con un termino común se caracteriza por tener precisamente un mismo termino en ambos binomios:

(x + a)(x + b)

En estos dos binomios x es un termino común. Otros ejemplos de binomios con un termino común son las siguientes:

(x + 3)(x + 2), (a - 4)(a-2), (m + 5)(m - 3), (y - 6)(y + 5), etcétera.

Podemos obtener el producto de los binomios (x + a) y (x + b) con el termino común x efectuando la multiplicación.

(x + a)(x + b) = x (x + b) + a (x + b)

= x (x) + x (b) + a (x) + a (b)

= x2 + bx + ax + ab

= x2 + (a + b) x + ab

Con este ejemplo, podemos generalizar la regla para obtener el producto de dos binomios con un termino común:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Veamos un ejemplo aritmético del producto de dos binomios con un termino común:

Producto de dos binomios conjugados

El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a - b) es un producto notable; a ambos factores, uno en relación con el otro, se les llama binomios conjugados. El producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados.

Al igual que los otros productos notables desarrollados, este también tiene una regla para encontrar el resultado sin necesidad de utilizar la multiplicación. Por el momento efectuaremos el producto de los binomios conjugados para poder generalizar su solución, es decir, encontrar la regla que debemos aplicar:

(a + b)(a - b) = (a + b) a + (a + b)(- b)

= a (a) + b (a) + a (- b) + b (- b)

= a2 + ab - ab - b2

= a2 - b2

El producto de dos binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados,

Así que la regla general para obtener el producto de dos binomios conjugados es la siguiente:

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Veamos un ejemplo aritmético. Obtengamos el producto de (5 + 2) por (5 - 2).

Binomio al cubo (Cubo de un binomio)

Un binomio a + b al cubo, (a + b)3, significa que el binomio a + b esta multiplicándose por si mismo tres veces. Es un producto notable. Se puede generalizar el proceso para obtenerlo. Para encontrar la regla que permita dar solución directamente a un binomio al cubo iniciaremos por efectuar la multiplicación:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)

Efectuamos la multiplicación de los primeros dos factores y este resultado se multiplica por el tercer factor.

(a + b)(a + b) = (a + b)2

= a2 + 2ab + b2

Así,

(a + b)3 = (a2 + 2ab +b2)(a + b)

= (a2 + 2ab + b2) a + (a2 + 2ab + b2) b

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b2

Con el ejemplo anterior podemos generalizar la regla para obtener de una manera directa el resultado de un binomio al cubo:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Veamos un ejemplo aritmético. Obtengamos el cubo del binomio (2 + 3).

Binomio al cuadrado (Cuadrado de un binomio)

Un binomio a+b al cuadrado, (a+b)2, es un producto notable. S se puede generalizar el proceso para obtenerlo. Antes de desarrollar este proceso, analizaremos el concepto de ¨binomio al cuadrado¨ geometricamente:
















Mediante esta figura nos damos cuenta de que un binomio al cuadrado, (a+b)2, equivale a sumar el área a2 de un cuadrado de lado a, el área b2 de otro cuadrado de lado b y el área de dos rectángulos iguales , 2ab, de lados a y b. Esto es,

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Así que el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer termino mas el doble producto del primer termino por el segundo mas el cuadrado del segundo termino.

La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

Veamos un ejemplo aritmético. Obtengamos el cuadrado del binomio (8 + 3).

Productos Notables

El titulo de esta sección debe dar una idea de su contenido: la multiplicación es una operación que ya conoces. Al resultado de una multiplicación se le llama producto; la palabra notable describe algo que se destaca de los demás. Así, los productos notables se obtienen de multiplicaciones que se caracterizan por ¨algo¨ particular, podríamos decir que son diferentes a los demás productos.

Los productos notables se pueden obtener publicando reglas particulares para cada caso.

La identificacion de un producto como notable y la aplicacion de la regla correspondiente para obtenerlo, permitirán que el proceso de resolucion sea mas sencillo.

Los principales productos notables reciben los siguientes nombres:

- Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio.
- Binomio al cubo o cubo de un binomio.
- Producto de binomios conjugados (producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos).
- Producto de dos binomios con un termino común.
- Productos de binomios con termino semejante.

A continuación se desarrollaran los procesos que nos conducen a las reglas que se deben aplicar en cada caso y para comprobar la validez de la regla en cada uno de los productos notables, se desarrollara un ejemplo aritmético.

Tipos y Caracteristicas de los Mercados

El mercado, al ser un concepto tan amplio, se puede prestar a diferentes interpretaciones, diferentes todas ellas, dependiendo del uso que se le de a la palabra como tal.

Entre otras, las interpretaciones que se le pueden dar al concepto mercado son:

* Área geográfica a la cual concurren compradores y vendedores de mercancías para realizar transacciones comerciales: comprar y vender a un precio determinado.
* Grupo de personas más o menos organizado en constante comunicación para realizar transacciones comerciales.
* Relación que existe entre oferentes y demandantes de bienes y servicios.
* Ámbito dentro del cual las relaciones de oferta y demanda concurren para la fijación de un precio.
* Serie de transacciones que llevan a cabo los productores, intermediarios y consumidores para llegar a la fijación del precio de las mercancías.

Para los fines que se persiguen en este documento, tomaremos como definición de mercado los últimos tres aspectos, sin embargo, es necesario ampliarlo.

El mercado es un espacio en el que se da libertad a las habilidades individuales de cada quien para ofrecer y hacer valer su producto por medio de estrategias, bien sean publicitarias o de relación con otros individuos; para así conseguir sustento y obtener un mejor nivel de vida.

Así mismo ocurre a mayor escala, donde grandes compañías luchan en un escenario llamado oligopolio en el que buscan cautivar al único proveedor de riqueza que existe en el mercado, el consumidor, quien esta sujeto a su vez a las decisiones que tomen las empresas.

Estas empresas buscan las decisiones que en concordancia con las acciones de sus rivales, causen el mayor beneficio y el menor riesgo de perdida, lo que incluye el cuidado y extrema atención que se le debe prestar al consumidor.

Con este fin trata de sesgar la imagen del comprador acerca del producto, buscando que este valore mas la calidad, el prestigio de la empresa productora y/o las características locativas del lugar; con lo que se convierte esto en una guerra de mercadeo en la que se contempla la respuesta rápida a las acciones del otro, la astucia a la hora de aceptar una fusión o un negocio con grandes expectativas; siempre mirando hacia a el progreso de la empresa.

El mundo tal y como lo conocemos, nos presenta varios de estos modelos con los que tenemos contacto día a día en nuestras vidas, los cereales, la crema dental, los electrodomésticos, etc. son productos que representan la participación y el poder refinador de un mercado –con esto me refiero a la competitividad como método de selección-, en el que solo participan y se mantiene las empresas que logran encontrar y producir su producto bajo ciertas condiciones de calidad y de beneficio.

Igualmente, el mercado se considera como una institución a través de la cual operan las fuerzas determinantes de los precios, en donde se ponen en contacto ofertantes y oferentes, el lugar en donde se lleva a cabo la actividad económica, sin importar de que índole sea esta.

Los mercados pueden tener diversas clasificaciones, y su división depende de:

* Área geográfica:

o Locales : se localizan en un ámbito geográfico muy restringido : la localidad.

o Regionales : abarcan varias localidades integradas en una región geográfica o económica. A nivel internacional estos mercados forman bloque económicos como el Mercado Común Europeo.

o Nacionales : integran la totalidad de las transacciones comerciales internas que se realizan en un país; también se le llama mercado interno.

o Mundial : El conjunto de las transacciones comerciales internacionales (entre países) forman el mercado mundial. También se le llama mercado internacional o mercado globalizado.

* Tipo de producto ofrecido:

o De mercancías : Cuando en el mercado se ofrecen bienes producidos específicamente para venderlos; por ejemplo, mercado del calzado, de ropa, del café, etcétera.

o De servicios : Son aquellos en que no se ofrecen bienes producidos sino servicios; el más importante es el mercado de trabajo.

* Tiempo de formación del precio:

o De oferta instantánea : En este tipo de mercado el precio se establece rápidamente y está determinado por el precio de reserva (último precio al cual vendería el productor).

o De corto plazo : En este mercado el precio no se establece rápidamente y se encuentra determinado en gran parte por los costos de producción. La empresa puede variar la proporción en que emplea sus recursos pero no todos. En este tipo de mercado también se incluye el de mediano plazo con las mismas características que el de periodo corto.

o De largo plazo : El precio se establece lentamente y está determinado en buena medida por los costos de producción es un periodo lo bastante largo para que la empresa cambie la proporción en que utiliza sus recursos productivos (puede incluso variar todos).

De acuerdo con la competencia que se establece en el mercado:

o De competencia perfecta : Es aquel en el que no se ofrece ventaja alguna a los productores, en donde todos los mecanismos referentes al mercado no se ocupan en un productor específico, sino en todos. Es igualmente aquel mercado en el cual, dadas las condiciones de apertura, el libre flujo de las mercancías llega a un punto máximo.

En la competencia perfecta el precio se fija cuando la oferta y la demanda son las mismas; el punto donde coinciden la oferta y la demanda se conoce como precio de equilibrio

o De competencia imperfecta : En la medida en que determinado mercado no cumpla con las características de la competencia perfecta, se alejará de ella o bien será un mercado con mayor o menor imperfección y con mayor o menor competencia.

Para efectos de este documento, utilizaremos la clasificación dependiendo de la competencia que se establece en el mercado, al ser este el tema que nos ocupa.










Dirección:
http://www.monografias.com/trabajos15/tipos-mercado/tipos-mercado.shtml